ATAWI確率

問題 P142

積が和より大きくなる確率

中2表で数える（2つのさいころ）★★★

問題

大小2つのさいころを投げる。出た目の数の積が、出た目の数の和より大きくなる確率を求めよう。

分数は 1/6 のように書いてね（6分の1 でもよいよ）。答えは約分しよう。

ヒント

  1. 1の目が出たとき、積と和はどちらが大きい？ 例えば（1，4）で比べてみよう。
  2. （2，2）ではどうなる？ 表のマスに「積−和」を書いて、正の数のマスを数えよう。

解き方

  1. 全部で何通り？

    大きいさいころの目は6通り、そのそれぞれに小さいさいころの目が6通り。全部で 6×6=36 通り。大と小を区別すれば、どれも同じくらい起こりやすい（同様に確からしい）。

  2. 1の目が出たとき

    片方が1なら、積はもう一方の目と同じで、和はそれより1大きい。だから積のほうが小さい。1がふくまれる組は 6+6−1=11 通り。

  3. 残りを調べる

    （2，2）は積も和も4で等しい。それ以外は、例えば（2，3）で積6・和5のように、積のほうが大きい。

    積から和をひいた数行が大きいさいころ、列が小さいさいころの目。マスには 積−和。正の数のマスは24。1の行と列は負の数、（2，2）は0。小大123456123456−1−1−1−1−1−1−101234−113579−12581114−137111519−149141924
    1. マスに 積−和 を書く。1の行と1の列は負の数になる。
    2. 積−和 が正のマスを囲む。24ある。

  4. 確率を求める

    あてはまるのは 36−11−1=24 通り。確率は 2436=23。

答え23

よくあるまちがい（2つ）
  • 12積が大きいか和が大きいかの2通りだから、と考えたかな？ 等しい場合もあるし、それぞれのマスの数もちがうよ。
  • 2536（2，2）も入れたかな？ 積と和がどちらも4で等しいので、「大きい」にはふくまれないよ。

今日つかった考え方式の大小は、あてはまらない場合（1の目・等しい場合）を先に見つけると数えやすい。

この考え方をくわしく：第6章 2つのさいころは表で

「表で数える（2つのさいころ）」の問題の一覧