ATAWI確率

問題 P154

正六角形の頂点で三角形ができる

中2表で数える（2つのさいころ）★★★

問題

正六角形ABCDEFがあり、点Pと点Qははじめ頂点Aにある。大小2つのさいころを投げ、点Pは大の目の数だけ、点Qは小の目の数だけ、頂点をA→B→C→D→E→F→A→…の順に移動する。3点A、P、Qを結んで三角形ができる確率を求めよう。

分数は 1/6 のように書いてね（6分の1 でもよいよ）。答えは約分しよう。

ヒント

  1. 三角形ができないのは、3点のうち2つ以上が同じ頂点に重なるとき。
  2. 6の目が出た点は、どこに止まる？ また、PとQが同じ頂点に止まるのはどんなとき？

解き方

  1. 全部で何通り？

    大きいさいころの目は6通り、そのそれぞれに小さいさいころの目が6通り。全部で 6×6=36 通り。大と小を区別すれば、どれも同じくらい起こりやすい（同様に確からしい）。

  2. 三角形ができないとき

    正六角形の頂点はどの3つも一直線に並ばないので、3点が別の頂点なら三角形ができる。できないのは、PがAにもどる（大が6）、QがAにもどる（小が6）、PとQが重なる（大と小が同じ目）とき。

  3. できる場合を数える

    大も小も1〜5で、しかも同じ目でない組。5×5=25 通りから同じ目の5通りをひいて 25−5=20 通り。

    3点A、P、Qで三角形ができるか行が大きいさいころ（P）、列が小さいさいころ（Q）の目。6の行と6の列、同じ目のななめは三角形ができない。できるマスは20。小（Q）大（P）1234561234561,11,21,31,41,51,62,12,22,32,42,52,63,13,23,33,43,53,64,14,24,34,44,54,65,15,25,35,45,55,66,16,26,36,46,56,6
    1. マスに（大，小）の組を書く。
    2. 三角形ができるマスを囲む。20ある。

  4. 確率を求める

    2036=59。

答え59

よくあるまちがい（2つ）
  • 2536PとQが同じ頂点に重なる場合を忘れたかな？ 例えば（2，2）では、PもQもCにいて三角形にならないよ。
  • 56PとQが重なる場合だけをひいたかな？ 6の目が出ると、点はAにもどって、Aと重なるよ。

今日つかった考え方図形ができない場合を先に見つけて、表の行・列・ななめで除く。

この考え方をくわしく：第6章 2つのさいころは表で

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