ATAWI確率

問題 P153

点が三角形の内部にある

中2表で数える（2つのさいころ）★★★

問題

大小2つのさいころを投げ、大の目をa、小の目をbとして、座標平面上に点P（a，b）をとる。点Pが、直線 y＝x、直線 y＝−x＋8、y軸 の3本で囲まれた三角形の内部にある確率を求めよう。ただし、三角形の周上の点はふくまない。

分数は 1/6 のように書いてね（6分の1 でもよいよ）。答えは約分しよう。

ヒント

  1. 3本の直線の交点を求めて、三角形の形をつかもう。y＝x と y＝−x＋8 の交点は？
  2. 内部にあるのは、直線 y＝x より上（b が a より大きい）で、直線 y＝−x＋8 より下（a＋b が8より小さい）の点。
  3. aの値ごとに、あてはまるbを数えよう。

解き方

  1. 全部で何通り？

    点Pは（a，b）の 6×6=36 通り。大と小を区別すれば、どれも同じくらい起こりやすい（同様に確からしい）。

  2. 三角形をつかむ

    頂点は、原点（0，0）、y軸と y＝−x＋8 の交点（0，8）、2直線の交点（4，4）。内部の点は、直線 y＝x より上にあり（b が a より大きい）、直線 y＝−x＋8 より下にある（a＋b が8より小さい）点。y軸より右にあることは、a が1以上なので必ず成り立つ。

  3. aごとに数える

    a＝1 のとき b は2〜6の5通り。a＝2 のとき3〜5の3通り。a＝3 のとき4の1通り。a が4以上のときは、あてはまる b がない。

    点P（a，b）が三角形の内部にあるか行が大きいさいころ a（x座標）、列が小さいさいころ b（y座標）。マスには（a，b）。b が a より大きく、a＋b が8より小さいマスは9。b（y）a（x）1234561234561,11,21,31,41,51,62,12,22,32,42,52,63,13,23,33,43,53,64,14,24,34,44,54,65,15,25,35,45,55,66,16,26,36,46,56,6
    1. マスに点P（a，b）を書く。
    2. 三角形の内部にある点のマスを囲む。9ある。

  4. 確率を求める

    5+3+1=9 通りなので、936=14。

答え14

よくあるまちがい（2つ）
  • 512直線 y＝x より上（b が a より大きい）の15通りだけ数えたかな？ 直線 y＝−x＋8 より下（a＋b が8より小さい）という条件も必要だよ。
  • 1136直線 y＝−x＋8 上の点（2，6）（3，5）も入れたかな？ 周上の点はふくまないよ。

今日つかった考え方図形の条件を不等式に言いかえ、一方の目を決めて、もう一方の範囲を数える。

この考え方をくわしく：第6章 2つのさいころは表で

「表で数える（2つのさいころ）」の問題の一覧