ATAWI確率

問題 P110

4枚から3枚で3けたの整数

中2樹形図で数える★★☆

問題

1、2、3、4 の数字を書いたカードが1枚ずつある。このうち3枚を並べて3けたの整数をつくる。3けたの整数は全部で何個できるか求めよう。

個

ヒント

  1. 百の位が1の場合だけ、樹形図をかいてみよう。
  2. 百の位が2・3・4の場合も、同じ形の樹形図になるかな？

解き方

  1. 百の位が1の場合

    百の位を1にすると、十の位は残り3枚から3通り、一の位は残り2枚から2通り。カードをよくきって並べるなら、こうして区別した1つ1つの整数は、どれも同じくらい起こりやすい。

    百の位が1の場合の樹形図（一部）百の位が1の場合だけをかいた樹形図。十の位は2・3・4の3通り、一の位は残りの2通りずつ。葉は6つ。百の位十の位一の位12343424231・2・31・2・41・3・21・3・41・4・21・4・3
    1. 百の位が1の場合だけをかく。
    2. 十の位は2・3・4の3通り。
    3. 一の位は残りの2通りずつ。6個。百の位が2・3・4でも同じ形になる。

  2. 同じ形がいくつある？

    百の位が2・3・4のときも、それぞれ6個ずつできる。

  3. 全部で何個？

    6×4=24 個。かけ算でまとめると 4×3×2=24。

答え24個

よくあるまちがい（2つ）
  • 4個4枚から3枚を選ぶ組み合わせ（123・124・134・234）だけを数えたかな？ 同じ3枚でも、並べ方がちがえば別の整数だよ。
  • 64個4×4×4=64 と数えたかな？ 同じカードは2回使えないから、段が進むごとに1枚ずつへるよ。

今日つかった考え方同じ形の枝がいくつあるかを見れば、一部の樹形図から全体が数えられる。

この考え方をくわしく：第5章 もれなく、重なりなく数える

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