ATAWI確率

問題 G01

検査で陽性の人は本当に病気？

一般社会の確率★★★

問題

ある病気にかかっている人は、10000人のうち200人いるとする（数値は説明のための仮のもの）。この病気の検査では、病気にかかっている人の90%が陽性になり、かかっていない人の5%も陽性になる。
検査で陽性になった人のうち、本当に病気にかかっている人の割合（確率）を求めよう。

分数は 1/6 のように書いてね（6分の1 でもよいよ）。答えは約分しよう。

ヒント

  1. 10000人を「病気あり」と「病気なし」に分け、それぞれを「陽性」と「陰性」に分ける、人数の樹形図をかこう。
  2. 陽性の人は、病気ありの人と、病気なしの人の両方から出てくるよ。

解き方

  1. 人数の樹形図

    10000人 → 病気あり200人・病気なし 10000−200=9800 人。病気ありの200人 → 陽性 200×0.9=180 人・陰性20人。病気なしの9800人 → 陽性 9800×0.05=490 人・陰性9310人。

  2. 陽性の人を集める

    陽性になるのは 180+490=670 人。そのうち本当に病気なのは180人。

  3. 割合を求める

    180670=1867。約0.27。この数値の場合、陽性でも病気の人は4人に1人くらい。病気でない人がとても多いので、その5%でも490人になるからだ。

  4. 病気の人の割合が変わると

    病気の人が10000人のうち100人なら、陽性は 90+495=585 人で、そのうち病気は90人。90585=213（約0.15）。1000人なら 900900+450=23。同じ検査でも、もとの病気の人の割合で答えが大きく変わる。高校では条件付き確率として、大学などではベイズの定理として学ぶ。実際の検査結果の意味は、医師などの専門家に確かめよう。

答え1867

よくあるまちがい（3つ）
  • 910「病気の人の90%が陽性」を、そのまま「陽性の人の90%が病気」と読みかえたかな？ 向きが逆だよ。病気でない人からも陽性が出るので、人数で数えよう。
  • 1920病気でない人の5%しか陽性にならないから、陽性なら95%は病気、と考えたかな？ 病気でない人は9800人もいるので、5%でも490人になるよ。
  • 15010000人のうちの病気の人の割合を答えたかな？ 陽性とわかった670人の中での割合を求めよう。

今日つかった考え方検査の結果は、確率を人数（自然頻度）におきかえて、陽性の人の中身を数えると正しく読める。

この考え方をくわしく：第11章 この先の確率

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